下面是小编为大家整理的随机信号分析(常建平-李林海)课后习题答案第二章习题讲解（完整）,供大家参考。
随机信号分析( ( 常建平- - 李林海 ) 课后习题答案第二章习题讲解
LT
2 2
1 ， 2
2-1
已知随机过程
X ( t ) A cos t ，其中 0
为常数，随机变
0
量
A 服从标准高斯分布。
。
求 t 0, 3 0
,
2 0
三个时刻
X (t) 的一维概率密度？
解：
A ~ N (0,1).
........ f
A
a 2
( a )
e 2
1 x 2
X ( t )
A ~ N (0,1) f (x ；0)
e
1
X ( t )
t 0 X
A
1
~ N (0, )
1
f
( x
； )＝ 2
e 2 x 2 ，
2 4
X
0
2 3 0
＝ 0 ， f
( x
；
)
( x
)
2 0
0
( 离散型随机变量分布律 )
2-2
如图
2.23
所示，已知随机过程
仅由四条样本函数组
X ( t )
1 1 3 1
成，出现的概率为
, , , 。
8 4 8 4
图
2.23 习题
2-2
在
和
两个时刻的分布律如下：
t t
1 2
X ( t )
6
5
4
3
2
1
x (t) 1
x (t) 2
x (t) 3
x (t) 4
o
t
1
t
t
2
2 t 3 2 X ( t )
t 2 3
3
1 2
3
4
X ( t )
1
X ( t )
2
p (t ,t ) k k 1 2 1 2
4
1
2
6
3
5
4
2
1
1/8
1/4
3/8
1/4
求
E[ X (t
1
)], E [ X
( t )], E [ X ( t
2 1
)X (t
2
)] ？
E [ X ( t
1
)]
x p
k k k 1 t 29
8
E [ X ( t )]
21
2 8
E [ X ( t
1
) X ( t
2
)]
R
X
t ,t 1 2
k k 1 2
p X t 1
k 1
, X t
2
k 2
k k 1 2
随机过程 X
( t )
A
cos
t
XH ，其中 A
U
(0, 1 （ )
均匀分布）。
求 f (x;t), E X (t) , D X (t) , R
X
X
(t ,t ) ？
1 2
A B
2 2- -4 4
已知随机过程
X (t) A Bt ，其中
A, B 皆为随
机变量。①求随机过程的期望
E[ X (t)] 和自相关函
数
R (t ,t X 1 2
) ？②若已知随机变量相
A, B 互独立，
它们的概率密度分别为
维概率密度
f (x;t) X
第 ② 问
f (a) 和
f (b) ，求
X (t) 的一
方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布）
步骤：
t t
时刻，
X (t) A Bt 为两个随机变量的函数
① 设二维的随机矢量 X
1
A Bt （题目要求的）
② 求 反 函数
X
A
2
（自己设的量,可以是其它量）
③ 求雅克比行列式
J J ，得到 |J|
④利用公式
f
X X
1 2
( x , x
1 2
)
J
f
AB
( a , b )
AB相互独立 f AB
f (a) A
⑤ 由联合概率密度求边缘概率密度
f
X 1
x ⑥t
为变量，则得到
f X
(x;t) f (b) B
t
t
A与B独立, f AB
( a , b ) f
A
( a ) f
B
( b )
X ( t ) A Bt
A Y ( t ) 0 1
1
X ( t )
Y ( t )
J
1
1 Y ( t ) A
B t
t
t
t
1 x y 1 x y
f ( x , y ; t )
J
f
XY AB
( a , b )
f ( y , ) AB t
f ( y )
f ( )
A B t
f
( x ; t )
f
( x ,
y ; t ) dy
1
f
(
y )
f
(
x
y
) dy
X
XY
A B t
y a, f X
( x ; t )
1 f ( a ) f ( x a ) d a A B t
f
x ; t
1
f
a f x a da
X
t A B f x bt f A B
b db 方法二：
用特征函数定义和性质（独立变量和的
特征函数等于各特征函数的乘积）做
（特征函数和概率密度一一对应）
t
t
t
Q
u ; t
E
e
juX
t
E
e
ju A Bt
e
ju a bt f
X
AB
a,b dadb
e
ju a b t
f
a
f
b dadb A B
Q
u ; t
X f x;t e jux dx X
取a=x-bt Q
u ; t
e
ju x
f
x
bt
f
b dxdb X A B
e
j ux
f
x bt f b dbdx A B
f
x ; t
X f x bt f A B
b db
0
2 2- -5 5
已知
X (t) 为平稳过程，随机变量 Y X (t ) 。判
0
断随机过程
Z (t) X (t) Y 的平稳性？
X
( t ) 平稳 m
、 R
X
X
E Y t E X t ? E
Z
t
2 m
R t ,t E X t Y X
t
Y Z 1 2
1 2
E
X
t X
1
t X 2
t X
1
t X 0
t X
0
t X 2
2 t
0
R R X
X
t ,t 1 0
R X
t ,t 2 0
E
X 2
t 0
R Z
随机过程
Z (t) X (t) Y 非平稳
X
2 2- -6 6
已知随机过程
Y ( t )
X ( t )cos( t ) ，其中随机
0
过程
X (t) 宽平稳，表示幅度；角频率
为常数；
0
随机相位 服从 ( , ) 的均匀分布，且与过程
X
(t) 相互独立。①求随机过程
Y (t) 的期望和自相关函数？②判断随机过程 Y (t) 是否宽平稳？
①
与过程
X
( t ) 相互独立
cos ( t
) 与 X
t
相互独立 0
E Y ( t )
E X ( t )cos(
t
) 0
E X ( t ) E cos(
t ) 0 0
R t , t
E X ( t )cos(
t
)
X ( t )cos(
t
) 1
2
1 0 1
2
0 2
E X ( t
) X ( t ) cos( t
)cos(
t )
1 2
0 1
0
2
E X ( t
1
R X
) X ( t )
E
2
cos( t 0 1
)cos( t 0 2
)
1 cos
2
0
Y
2 2- - 8 已知平稳过程
X (t) 的自相关函数为
R
(
)
4 e X
cos cos3 ，
求过程
X (t) 的均方值和方差？
R (
) ＝ 4 e
X 1
cos 非周期部分 m X1
R ( )
0
X 1
R (
)cos3
周期偶函数 X 2
m
0
X2
2
R (0)
m 2
5
X X
X
XY
2 2- - 10
已
知
过
程
X (t) Acost Bsint 和
Y (t) B cost Asin t ，其中随机变量 A, B 独立，均值都
为
0 0 ，方差都为
5 5 。①证明
X (t) 和Y (t) 各自平稳且联合平稳；②求两个过程的互相关函数？
①
E X (t) 0 R X
X t 平稳 t , t
5cos
E
X
2
( t )
5
E Y (t) 0 R Y
t , t
5cos
E
Y
2
( t )
5
Y t 平稳 R t , t ＋
＝5sin X t 、Y t 联合平稳
Z
Z
Z
2 2- - 11
已知过程 X
(t) 和 Y (t) 各自平稳且联合平稳，且
Z (t) X (t) Y (t) 。①求
Z (t) 的自相关函数
R (
) ？②若
X (t) 和 Y (t) 独立，求
R (
) ？③若
X (t) 和Y (t) 独立且均值
均为
0 0 ，求 R
(
)
Z
第 ① 问
R
E
Z
t
Z
t
R R X Y
R
XY
R
YX
R R X Y
R
XY
R
XY
两个联合平稳的过程的互相关函数
R
R
YX XY
第 ② 问
两平稳过程独立
E X t
1
Y t
2
E X t
E Y t R R XY YX
m m X Y
R
R
Z
X
R
Y
2 R
XY
第③问
X (t) 和 Y (t) 独立且均值均为
0 0
R
R
Z
X
R
Y 1
2
R ( )
X
2 2- - 12
已知两个相互独立的平稳过程
X (t) 和Y (t) 的
自相关函数为
R (
)
2 e 2
cos
R (
) 9 exp 3
2 X 0 Y
令随机过程，其中
A 是均值为
2 2 ， 方差为
9 9
的随
机变量，且与 X (t) 和 Y (t) 相互独立。求过程 Z(t) 的均值、方差和 Z (t) AX (t)Y (t) 自相关函数？
随机变量
A A ，与
E
Z
t
EA
X (t) 和Y (t) 相互独立
E [
X
( t )]
0 ， E [ Z
( t )]
0
R (t, t ) E[Z (t)Z (t )] Z
E [ A 2 X ( t ) X ( t
) Y ( t ) Y ( t )]
E [ A 2 ] R
X
(
) R
Y (
)
E [ A 2 ]
D [ A ]
E 2 [ A ]
9
2 2
R
( )
26 e 2 cos 9
exp
3
2 Z
0
D [ Z ( t )]
R (0)
260
Z
可以证明过程 Z (t) 平稳
E X t E Y t
A
2 2- - 14 已知复随机过程
Z
( t )
A
exp j t
i
i
i 1
式中
A
i
( i
1,
,
n )
为
n n
个实随机变量， i
( i
1,
, n) 为
n n
个实数。求当
i 满足什么条件时，
Z (t) 复平稳？
复
过
程
Z ( t )
复
平
稳
条
件
m
t
m
复常数， m
+
j m
Z
z
R
t , t
R
Z Z
m t E ①
z A exp
j i
i
t E A
i
exp j t i
只要 E [ A
i
i1 i1 ] 0， E [ Z ( t )]中就存在“ t ”。令 E [ A
i
] 0
②
X Y
i
R t,t E Z Z
t Z t E
A
exp j
t
A exp j t j
i i j j j i 1 j 1
E
A A
i j
exp j t ji
t j j j
i 1 j 1
E
A 2
exp
j
j
i 1 j 1
A 与 A
间应满足条件： E [ A ]
0...........
i k
i E [ A A ]
0,...... i
k
..... i , k
1,2,
, n i k
Y
X
2 2- - 16
已知平稳过程
X (t) 的均方可导，
Y (t) X (t) 。
证明
X (t),Y (t) 的互相关函数和
Y ( t ) 的自相关函数分别 为
R ( ) dR ( )
X
R (
)
d 2 R
X
(
)
XY d Y d 2 1 R (
)
E [ X ( t ) Y ( t )]
XY
E
X ( t ) l . i . m
X ( t
t )
X ( t ) t 0 t
lim E
X ( t ) X ( t
t )
X ( t ) X ( t ) t 0
lim
R ( t) R X
X
t t (
) dR
X
(
)
t 0 dt
2
R
( )
E
X
"
( t ) Y
( t
) E l . i . m
X ( t t ) X ( t ) Y ( t )
t 0 t lim
t 0 E X (t t)Y (t ) X (t)Y (t ) t lim
R ( t) R XY XY
t (
) lim R
(
) R
XY
(
)
t 0 0 dR XY
(
) d 2 R
(
)
。
d d 2 XY
1
。求：①其导数
的自 相
若
X (t) 为宽平稳（实）
过程，则 X " (t) 也是宽平稳（实）
过程，且 X (t)
与
X " (t) 联合宽平稳。
R (
) d R (
) d R
YX XY
(
)
d R XY
(
)
d 2 R X
(
)
Y d d d d 2 2-17
已知随机过程
X
( t ) 的数学期望
E[ X (t)] t 2 4 ，求随机过程 Y (t) tX (t) t 2 的期望？
E [ X
"
( t )]
E [
X
( t )] "
t 2
4 "
2t E Y (t) 3t 2
2-18
已
知
平
稳
过
程
X
( t ) 的
自
相
关
函
数
R X (
)
2exp
2
Y (t) X (t) 2 关函数和方差？②
X ( t ) 和 Y
( t ) 的方差比？
d 2 R (
)
1 2 R (
)
Y X
d 2
2 1
2 e 2
不含周期分量
2
R
Y Y
2
R
0
2
0
2
X
X
4
4
4
补充题：若某个噪声电压 X t 是一个各态历经过程，它的 一
个样本函数 为
X
t 2cos t ，求该噪声的直流分量、交流
平均功率
解：直流分量 E
X t 、交流平均功率 D X t 各态历经过程
可以用它 的 任一个样本函数的时间平 均来代替整个过程 的 统计平均
E
X
t = X (t) = lim 1
T
X (t)dt lim 1
T
2cos t dt 0 T 2T
T T 2T
T R ( ) X (t) X (t ) lim 1
T
X (t) X (t )dt X T 2T T
lim
1
T
2cos
t
2cos
t
d t
2cosT 2T
T 4 再利用平稳过程自相关函数的性质
D X t R 0 R 2 X
X
方法二：
D
X
t
E
X 2
t E 2
X
t X 2 (t) X (t) X ( t )
0
1 T
1 T 2
X 2 ( t )= lim 2T X 2 ( t ) dt lim 2T 2cos t 4 dt 2 T T T T
1 t
1 1 t
1
t
1 2-19
已知随机过程
X (t) V cos3t ，其中 V 是均值和方
差皆为
1 的随机变量。令随机过程
Y
( t )
1 t
t
X ( )d 0
求 Y ( t ) 的均值、自相关函数、协方差函数和方差？
解 ：
1.
求均值，利用
E [ b
a
X
( t ) dt ]
b
E [X
( t )] dt
a
随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换
E
Y
t
E
1
t
X
( ) d
1
t
E
X
( ) d
1
t
E
V
cos3
d t 0
sin 3 t
3t t 0 t 0
2.
求自相关函数
Y (t ) X ( )d 变上限积分 t 0
t
R (t ,t )
E [ Y ( t ) Y ( t )]
E [
1
X (
) d
2 X (
) d
]
Y 1 2
1 2 t 0
1
1 1 t 0 2
2
2
＝ 1 t
t 2 E [ X ( ) X ( )] d
d t t 0
0
1 2 2 1
1 2
做法二：Y (t) 1
t
X ( ) d
1
t
V
cos3 d
V sin 3 t
t 0
t 0
3t V sin 3 t V sin 3 t
R (t ,t Y 1 2
)
E [ Y ( t
1
)Y (t 2
)]
E [ 1 2 ]
3t 3t 1 2
sin 3 t
＝ 1
sin 3 t
2
EV 2
2 sin 3 t
sin 3 t
9t t 9t t 1 2
1 2 1 2
3.
求互协方差函数
C ( t , t
) R (t ,t ) E[Y (t )] E Y (t
) 1 sin3t sin 3t Y 1 2
Y 1 2
1 2 9t t 1 2 1 2 4.
求方差
D Y
t
C
t,t 方差是关于t的一元函数 方法二：
D Y t
D V sin 3 t
3t sin 2 3t 9t 2
D V
sin2 3 t 9 t 2
Y
X C
C
2-20
已知 平稳 高斯过程
X (t) 的自相关函数为 ①
R (
)
6exp
2 ②
R (
)
6 sin X 求当
t 固定时，过程
X (t) 的四个状态
X (t), X (t 1), X (t 2), X (t 3) 的协方差矩阵？
C C C C
11 12 13 14 C ...
