基本不等式“本质”,学生懂了吗?(全文)

发布时间:2022-06-30 19:15:03

下面是小编为大家整理的基本不等式“本质”,学生懂了吗?(全文),供大家参考。

基本不等式“本质”,学生懂了吗?(全文)

 

 基本不等式的“本质”,学生懂了吗? 作

 者:

 潘龙生

 作者简介:

 潘龙生,江苏省盐城第一中学(江苏 盐城 224005).

 原发信息:

 《数学通讯》(武汉)2016 年第 201612 下期 第 50-54 页

 内容提要:

 受到某位教研员的启发,教师在高三一轮复习中上“基本不等式”这一节课时,适当地减少了变式训练,而强化两数和与积的转化分析教学,尽量让学生参透基本不等式的本质.教师在介绍本课教学过程的同时,对知识点复习、课本“题根”的再理解、例题教学以及复习课的问题设计等问题提出了自己的看法.

 关

 键

 词:

 基本不等式/本质/案例分析

 期刊名称:

 《高中数学教与学》 复印期号:

 2017 年 04 期

 记得刚教高三时,市教研员曾听了我一节一轮复习课“基本不等式”,课后交流时他谈到:知识点复习比较细致,方法归纳总结全面,例题的分析准确到位,学生的练习得当,整节课师生配合默契,作为一名新上高三的年轻教师,课已经上得不错了.

  随后他问了我一个问题:“你认为基本不等式的本质是什么呢?”这个问题把笔者问住了,未能迅速回答.教研员也没有为难我,随即解释道:

 基本不等式 研究的是两个正数的和 a+b 与积 ab 的不等关系,用基本不等式解决问题,实际上就是两个正数和与积的转化过程.如果课堂教学能让学生吃透基本不等式的本质,把和与积的转化思想用到解题分析中去,那么教学效果就更好了.

  与教研员的这次交流,笔者受益匪浅,非常认同教研员的上述观点,基本不等式的教学,无论是新授课还是复习课,首先要让学生深刻理解其本质,并用和与积的转化思想指导学生解题,否则用基本不等式解题就容易成为“杂耍”.受教研员的影响,笔者往往很关注“基本不等式”方面的公开课教学活动,发现很多教师不太注意揭示基本不等式的本质,解题教学中的转化思想分析也不到位,他们主要采取的模式是变式教学,将问题变一变,达到方法熟练运用的目的.

  笔者今年教高三,一轮复习中上“基本不等式”这一节课时,适当减少变式训练,强化两数和与积的转化分析教学,尽量让学生参透基本不等式的本质.笔者自己感觉课堂教学效果比较好,故将教学过程整理如下,供读者交流研讨.

  一、知识点复习

 问题 1 同学们对基本不等式的相关知识点都比较熟悉,那么你们知道基本不等式的本质是什么吗?

  笔者所提出的问题 1,就是要让学生深刻理解数学概念、定理等的本质内涵,正如李邦河院士曾说过,数学是玩概念的.但问题 1 让学生不知所

 措,他们以前根本就没有思考过这个问题,这也说明我们高中教师不太关注知识的理解,过于注重知识方法的运用.对此问题,笔者做了一点引导.

  师:大家想一想,怎样用文字语言表述基本不等式呢?

  生 1:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

  师:什么叫两个数的几何平均数与算术平均数?

  生 2:两数的几何平均数就是这两个数积的算术平方根;两数的算术平均数就是这两个数和的一半.

  师:基本不等式研究的对象是什么呢?

  生 3:两个正数的和与积.

  师:现在大家再想一想,基本不等式的本质到底是什么呢?

  生 4:基本不等式是关于两个正数和与积的一个不等关系式.

  师:对!用基本不等式解题,关键就是“积化和”或者“和化积”的转化过程.

  问题 2 有些同学在选修 4-4 中,学习过柯西不等式,那么柯西不等式最简洁的结论是什么呢?它的本质是什么呢?

  在这里,有没有必要研究问题 2,笔者沉思良久,认为可以与学生研讨.对于没有选修过柯西不等式 的学生,了解一下柯西不等式,增长一点见识,是可以的.我们不能完全受制于考试说明,考什么教什么,不考的不教,否则,我们学生的知识量就仅限于一张高考试卷了,学生的知识也就太贫瘠了.事实上,柯西不等式最简单的情形是 ,也不是说高考完全不涉及,如 2010 年江苏高考第 19 题:

  (1)求数列 的通项公式;

  (2)设 c 为实数,对满足 m+n=3k 且 m≠n 的任意正整数 m,n,k,不等式 都成立,求证:c 的最大值为 .

 此外,笔者觉得,利用问题 2,加强比较分析,更有利于吃透基本不等式的本质,柯西不等式最简单的情形研究的是两数和与平方和的关系,利用它解题,就是要实施和与平方和的转化.对学生认识基本不等式的本质,有帮助!

  二、课本“题根”的再理解

  在高三数学复习中,我们发现很多教师不太重视运用课本,他们认为课本题太简单,达不到高考难度,因此,他们对于课本的回归复习,往往流于形式,选取部分题目让学生完成,错得多的讲一讲,并没有真正发挥课本题的作用.笔者发现,课本每章都有数量不多的经典题,这些题目大多很简洁,与对应章节的核心知识密切关联,解题所用到数学思想方法通常很深刻,很多课外资料上的题目以及高考题,都是以这些题目为原型“包装”得到的,笔者称这些课本题为“题根”,复习课要学生真正吃透这些“题根”的本质,学生才能触类旁通,以不变应万变.对于“基本不等式”这节内容,笔者认为以下两道课本题(见文[1])可作为“题根”,重点探讨解题方法.

 题 1 某种产品的两种原料相继提价,因此,产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比,对产品分两次提价,现有三种提价方案:方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%;

  方案乙:第一次提价 q%,第二次提价 p%;

  方案丙:第一次提价 ,第二次提价 ;

  其中 p>q>0,比较上述三种方案,哪一种提价少?哪一种提价多?

  题 2 已知正数 x,y 满足 x+2y=1,求 的最小值.

  对于题 1,先让学生列式,他们能顺利完成.设原价为 1,则方案甲、乙的提价都为(1+p%)(1+q%)-1,方案丙的提价为 .那么怎样比较大小呢?大部分学生用作差法得到[(1+p%)· ,再用基本不等式或完全平方公式得出结论.这种解法自然简洁,但没有用好基本不等式的转化关系,对基本不等式的本质认识还不够,因此,笔者提出:

  问题 3 请同学们回忆一下,我们刚才讨论的“基本不等式的本质”,再思考一下,有没有其他解法?

  问题 3 使学生自然想到基本不等式的转化关系之一“积化和”,从而得到更简洁的解法,由(1+p%)

 得出结论,让学生再次加深理解基本不等式的本质.

  题 2 是一道经典最值问题,在高考以及一些高三模考中,经常出现以此改编的试题,我们发现这类题目的正确率不太高,学生虽然熟悉题 2 的

 解法,知道用“1”的代换,得到 ,再展开用基本不等式,但理解可能还不到位,不能吃透这里的转化关系.于是,笔者又提出两个问题帮助学生加深理解.

  问题 4 请同学们思考一下,题 2 为什么要用“1”的代换这个方法呢?

  学生都知道“1”的代换这个方法,我们还要让他们理解为什么用这个方法,因为两个变量的倍数和与其倒数和相乘,得到的展开式中有四项,其中两项是常数项,另外两项有倒数关系,可用基本不等式求最小值.

  问题 5 对于题 2,通过“1”的代换,得到 ,这样的解题过程突显了一个什么转化关系?

  学生不难回答,是两个变量 x,y 的倍数和与其倒数和的转化关系.我们还可以改写成 ,把 2y 看成一个变量,即 ,也就是将两个变量的倒数倍数和转化为变量之和的过程.

  问题 6 怎样把两个变量 x,y 的倒数倍数和 (x,y>0,a,b>0)转化为变量之和 x+y 的结论呢?

 因此,我们得到:

  如果两个正变量 x,y 的和为常数 m,则其倒数倍数和 有最小值.

 我们的目的不是要求学生掌握这个二元均值不等式,而是要与基本不等式的转化关系进行对比,让学生深化理解不同类型问题的转化关系,这样才能使学生在解题中做到触类旁通.最后,将知识点归纳为三个转化关系:

  (1)和与积的转化,主要是运用基本不等式;

  (2)和与平方和的转化,主要运用公式 ;

  (3)倒数倍数和与和的转化,主要用“1”的代换这个方法.

  三、例题评讲

  1.选题分析

  例题教学是课堂教学的重要组成部分,合理选择典型题与学生探讨,是提高课堂效率的前提.高三数学复习,很多教师通常依据学生答题的正确率进行选题,有一定道理,但我们还要根据具体章节的特点进行选题.比如本节内容,笔者觉得首先要关注基本不等式的本质进行选题,要选“和与积相互转化”的典型题;其次要关注课本“题根”(上文题 2)的拓展研究选题.此外,需要注意的是,基本不等式中有很多技巧超强的试题,错误率当然很高,但我们要淡化评讲,甚至不讲,我们要选出“能在常规思维导向下运用相关知识、方法进行合理转化”的试题,那些只能依靠技巧完成的试题,价值不大,可以一带而过.基于以上分析,笔者从对应的复习讲义中选择了以下三道题,与学生重点探讨.

  例 1 已知实数 a,b 满足 ,则 2a+b 的最大值为________.

 例 2 设 x,y∈ ,则 的最大值为________.

  例 3 若 x,y∈ ,且 x+y=1,则 的最小值为________.

  例 1 与例 2 都是运用基本不等式进行和与积转化的问题,例 1 的条件,通过配方,得到 ,只要将积 8ab 转化为和 2a+b 即可,例 2 既可以将和转化为积,也可以将积转化为和;例 3 是课本“题根”的变式题,应把 x+1 与 y+2 作为整体变量 a,b,则问题即转化为:若 a>1,b>2,且 a+b=4,求 的最小值,只要将分子分离为常数,就对应于课本中的“题根”了.接下来,本文将重点探讨例 2 的方法教学,关注其中转化思路的生成.

  2.思路探讨

  对于例 2,学生都知道要利用基本不等式完成,但具体的解题思路还不明晰,需要教师合理引导.为此,笔者与学生进行了交流探讨.

  交流 先请大家谈谈,你初次见到例 2 的一些思考与想法.

  让几个学生交流一下不成熟的思考,然后在教师的引导下逐步深入,需要关注学生的思维起点,再通过教师的引导,深入探讨出自然合理的解法.学生都表示知道要用基本不等式,还有学生说出了自己不成功的做法:分母不变,将分子用基本不等式,转化为与分母相似的平方和的形式,即,但未能得到最大值.

  追问 1 你是怎么想到这样做的,这样处理的意图是什么?

 上述做法,学生也许并没有多想,但教师的追问,会让学生深入思考,它实际上是利用基本不等式,将分子积的形式转化为分母和的形式.再让学生想一想解题意图,也就是要达到什么样的目标解题就成功,即“如果对应项的系数比例相同,那么这个比例值就是最大值”,如此,学生的解题思路就明确了.

  追问 2 为什么分子用了基本不等式,但与分母对应项系数的比例不同呢?

  不指望学生能回答这个问题,只是停顿让学生思考一下,加深他们的印象.

  反问 难道分子中的积化为和的方法是唯一的吗?

 追问 3 积化和的形式不确定,那我们怎样转化才能使分子分母对应项的系数成比例呢?这么多的转化方法,想碰到系数成比例,谈何容易?有没有统一的办法呢?

  通过追问 3,学生的解题思路渐渐明确了,想到用待定系数法,将分子积的形式转化为分母和的形式,再根据系数比例相同,解出所设系数.由此,学生还能想到将分母和的形式转化为分子积的形式,当然也需要用待定系数法.最后给出一点时间,让学生具体操作练习,得到下列两种解法.

  3.反思解题教学

 通过上述例题的教学,笔者谈两点解题教学的个人看法:

  (1)解题教学要尊重学生的思考.很多数学问题,学生不会做,但并不代表他们没有想法,只是他们的思考还不够深刻,没有完全吃透问题的本质,就如上文例题 2,学生知道大致的解题方向“和化积或积化和”,但他们没有关注到转化关系的不确定性,想不到待定系数法,以致解题失败.因此,我们的解题教学要贴近学生的需要,顺着学生的思维,帮助他们分析解题失败的原因,找到问题的根源,深化理解,解题方法自然水到渠成.

  (2)解题教学所追求的方法应是自然合理的,能揭示问题本质的方法.我们提倡多视角看问题,寻求不同的解题思路,但要尽量避免奇思妙想,多关注通性通法,教会学生找准解题的切入口,形成自然流畅的解题分析,最终让学生深刻理解问题的本质.

  四、复习课的问题设计

  对高三学生而言,很多知识方法,他们都有所了解,但他们的理解还不够深刻,我们高三复习的一个目的就是要帮助他们吃透知识的本质,加强思想方法理解的深刻性.因此,笔者认为,我们要多围绕“原因”设计问题.不论是知识复习,还是方法复习,多问几个为什么,有助于促进学生的理解.我们不能只让学生记住知识点,还要让他们知道概念、定理的成因,这样的话,他们所建立的知识框架才更牢固.一个问题,这样的处理方法效果好,那样的处理方法很繁琐,必有其原因,我们只有让学生知其所以然,等到他们碰到具体问题时,才能灵活地选择方法,运用才更自如.

 五、结束语

  要让学生吃透问题的本质,并非易事!首先教师自身得理解问题的本质,也许有些教师认为,大多数题目我都会做,怎么就不理解问题的本质呢?其实,教师见识多了,很多题目是套路化解答,未见得是真理解,即便理解,各位教师理解的水平也有差异.还有,我们熟视无睹的一些知识,也未必真理解其本质.作为数学教师,要注意提高自身的数学专业素养,多阅读一些数学专业书籍,多研究一些杂志上的文章,多与作者比较理解水平,切实提高自身的认知能力.

推荐访问:基本不等式“本质”,学生懂了吗? 不等式 本质 全文

版权所有:众一秘书网 2005-2024 未经授权禁止复制或建立镜像[众一秘书网]所有资源完全免费共享

Powered by 众一秘书网 © All Rights Reserved.。备案号: 辽ICP备05005627号-1