第9讲:椭圆第三定义(范文推荐)

发布时间:2022-06-20 16:10:02

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第9讲:椭圆第三定义(范文推荐)

 

  第 第 9 讲:椭圆的第三定义 1. 基础知识:

 如图,椭圆2 22 21 ( 0)x ya ba b    上任意一点 P 与过原点为中心的弦 AB 的两端点 A 、 B 连线 PA 、 PB与坐标轴不平行,则直线 PA 、 PB 的斜率之积PA PBk k  为定值22ba . . 证明 设 设 ( , ) P x y ,1 1( , ) A x y ,则1 1( , ) B x y   .所以 12222 byax ①

  1221221 byax

 ② 由 ① - ② 得22122212by yax x  , 所 以22212212abx xy y , 所 以2 2 21 1 12 2 21 1 1PA PBy y y y y y bk kx x x x x x a         为定值. 这条性质是圆的性质:圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广,它充分揭示了椭圆的本质属性.

 2. 典例:

 :(2019 年高考数学课标全国 Ⅱ 卷理科) 已知点   2,0 A  ,   2,0 B ,动点   , M x y 满足直线 AM 与BM 的斜率之积为12 .记 M 的轨迹为曲线 C . .   1 求 C 的方程,并说明 C 是什么曲线;   2 过坐标原点的直线交 C 于 , P Q 两点,点 P 在第一象限, PE x  轴,垂足为 E ,连结 QE 并延长交 C 于点 G . .   i 证明:

 POG △ 是直角三角形;   ii 求 POG △ 面积的最大值. 【详解】

 ( (1 )直线 AM 的斜率为 ( 2)2yxx ,直线 BM 的斜率为 ( 2)2yxx,由题意可知:OxyPAB

 2 212 4,( 2)2 2 2y yx y xx x        线 ,所以曲线 C 是以坐标原点为中心,焦点在 x 轴上,不包括左右两顶点的椭圆,其方程为  2 21, 24 2x yx     ; ; ( (2 )(i )设直线 PQ 的方程为 ykx , 由题意可知 0 k  , 直线 PQ 的方程与椭圆方程2 22 4 x y   联立,即 即22 222,,2 12 4. 2.2 1xy kxkx y kyk    或222,2 12.2 1xkkyk  ,点 点 P 在第一象限,所以2 2 2 22 2 2 2( , ), ( , )2 1 2 1 2 1 2 1k kP Qk k k k    ,因此点 E 的坐标为22( ,0)2 1 k  直线 QE 的斜率为2QEkk  ,可得直线 QE 方程:222 1k ky xk ,与椭圆方程联立,22 2,22 12 4.k ky xkx y   ,消去 y 得,2 22 2224 12 8(2 ) 02 12 1k x kk xkk   ( (* ),设点1 1( , ) G x y ,显然 Q 点的横坐标222 1 k和1x 是方程(* )的解 所以有2221 122 2 212 82 6 42 122 1 ( 2) 2 1kkkx xkk k k      ,代入直线 QE 方程中,得 312 22( 2) 2 1kyk k ,所以点 G 的坐标为2 32 2 2 26 4 2( , )( 2) 2 1 ( 2) 2 1k kk k k k   , , 直线 PG 的斜率为; 33 2 2 2 22 2 22 2 22 22 2 ( 2) 1 ( 2) 2 1 2 16 4 2 6 4 2( 2)( 2) 2 1 2 1PGk kk k k k k kkk k k kk k k            , 因为1( ) 1,PQ PGk k kk     所以 PQ PG  ,因此 PQG 是直角三角形; ( (ii )由(i )可知:2 2 2 22 2 2 2( , ), ( , )2 1 2 1 2 1 2 1k kP Qk k k k    , ,

 G 的坐标为2 32 2 2 26 4 2( , )( 2) 2 1 ( 2) 2 1k kk k k k   , , 22 22 2 2 2 22 2 2 2 4 1( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1k k kPQk k k k k          , , 2 3 22 22 2 2 2 2 2 2 26 4 2 2 2 4 1( ) ( )( 2) 2 1 2 1 ( 2) 2 1 2 1 ( 2) 2 1k k k k kPGk k k k k k k k            , 2 2 34 22 2 21 4 1 4 1 8( )2 2 5 2( 2) 2 1 2 1PQGk k k k kSk kk k k         4 2"4 2 28( 1)( 1)(2 3 2)(2 5 2)k k k kSk k     , 因为 0 k  ,所以当 0 1 k   时,"0 S  ,函数( ) S k 单调递增,当 1 k 时,"0 S ,函数 ( ) S k 单调递减,因此当 1 k  时,函数 ( ) S k 有最大值,最大值为16(1)9S  .

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